能够完全重合的平行四边形纸片ABCD 和AEFG 按图①方式

题文

能够完全重合的平行四边形纸片 $ABCD$ 和 $AEFG$ 按图①方式摆放，其中 $AD = AG = 5$ ， $AB = 9$ ．点 $D$ ， $G$ 分别在边 $AE$ ， $AB$ 上， $CD$ 与 $FG$ 相交于点 $H$ ．

【探究】求证：四边形 $AGHD$ 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 $ABCD$ ，将平行四边形纸片 $AEFG$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点 $F$ 与点 $C$ 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为　　．

【操作二】将图②中的平行四边形纸片 $AEFG$ 绕着点 $A$ 继续顺时针旋转一定的角度，使点 $E$ 与点 $B$ 重合，连接 $DG$ ， $CF$ ，如图③，若 $\sin ∠ BAD = \frac{4}{5}$ ，则四边形 $DCFG$ 的面积为　　．

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