如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点

题文

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DM ⊥ AC$ ，垂足为 $M$ ， $AB$ 、 $MD$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $D N^{2} = BN \cdot (BN + AC)$ ；

（3）若 $BC = 6$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，求 $DN$ 的长．

证明：（1）如图，连接 $OD$ ，

$∵ AB$ 是直径，

$∴ ∠ ADB = 90 °$ ，

又 $∵ AB = AC$ ，

$∴ BD = CD$ ， $∠ BAD = ∠ CAD$ ，

$∵ AO = BO$ ， $BD = CD$ ，

$∴ OD / / AC$ ，

$∵ DM ⊥ AC$ ，

$∴ OD ⊥ MN$ ，

又 $∵ OD$ 是半径，

$∴ MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $∵ AB = AC$ ，

$∴ ∠ ABC = ∠ ACB$ ，

$∵ ∠ ABC + ∠ BAD = 90 °$ ， $∠ ACB + ∠ CDM = 90 °$ ，

$∴ ∠ BAD = ∠ CDM$ ，

$∵ ∠ BDN = ∠ CDM$ ，

$∴ ∠ BAD = ∠ BDN$ ，

又 $∵ ∠ N = ∠ N$ ，

$∴ ΔBDN ∽ ΔDAN$ ，

$∴ \frac{BN}{DN} = \frac{DN}{AN}$ ，

$∴ D N^{2} = BN \cdot AN = BN \cdot (BN + AB) = BN \cdot (BN + AC)$ ；

（3） $∵ BC = 6$ ， $BD = CD$ ，

$∴ BD = CD = 3$ ，

$∵ \cos C = \frac{3}{5} = \frac{CD}{AC}$ ，

$∴ AC = 5$ ，

$∴ AB = 5$ ，

$∴ AD = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$ ，

$∵ ΔBDN ∽ ΔDAN$ ，

$∴ \frac{BN}{DN} = \frac{DN}{AN} = \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4}$ ，

$∴ BN = \frac{3}{4} DN$ ， $DN = \frac{3}{4} AN$ ，

$∴ BN = \frac{3}{4} (\frac{3}{4} AN) = \frac{9}{16} AN$ ，

$∵ BN + AB = AN$ ，

$∴ \frac{9}{16} AN + 5 = AN$

$∴ AN = \frac{80}{7}$ ，

$∴ DN = \frac{3}{4} AN = \frac{60}{7}$ ．

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