如图，$\mathit{AB}$是$\odot O$的直径，$C$是$\odot O$上一点，$D$是$\widehat{\mathit{AC}}$的中点，$E$为$\mathit{OD}$延长线上一点，且$\angle \mathit{CAE}=2\angle C$，$\mathit{AC}$与$\mathit{BD}$交于点$H$，与$\mathit{OE}$交于点$F$．

（1）求证：$\mathit{AE}$是$\odot O$的切线；

（2）若$\mathit{DH}=9$，$\tan C=\frac{3}{4}$，求直径$\mathit{AB}$的长．